Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle g=\frac{GM}{r^2}}}\Rightarrow M_E=\frac{g{R}_E^2}{G}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{kg}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• $M$ ist kugelsymmetrisch verteilt (Schalentheorem: das Außenfeld einer kugelsymmetrischen Masse ist identisch mit dem einer Punktmasse im Zentrum — genau das rechtfertigt den Abstand $r$ „zum Massenmittelpunkt").
• $r$ vom Massenmittelpunkt aus, mit $r\ge$ Radius des Himmelskörpers (Außenfeld).
• Newtonsche Gravitation (schwaches Feld); Zentrifugaleffekt der Rotation vernachlässigt (daher die kleinen Breitenunterschiede von $g$ an der Erdoberfläche).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$F=m\cdot g$	Gewichtskraft	✅ S. 2 („$F=m\cdot g$")
$F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$	Gravitationsfeldstärke	❌ nicht im Formelnheft — in der Prüfung selbst herleiten (genau diese Herleitung, zwei Zeilen)

Herleitung (Schritt für Schritt)

1. Für eine Probemasse $m$ an der Oberfläche dieselbe Kraft auf zwei Arten schreiben (Gewichtskraft $F=mg$ und Gravitationsgesetz beschreiben ein und dieselbe Kraft — das Gleichsetzen ist physikalische Identität, keine Näherung):$$m\cdot g=G\frac{M\cdot m}{r^2}$$
2. Probemasse $m$ kürzen (auf beiden Seiten linear, $m\ne 0$; physikalische Bedeutung: $g$ ist unabhängig von der Probemasse — Eigenschaft des Feldes, nicht des Körpers; genau deshalb fallen im Vakuum alle Körper gleich schnell):$$\boxed{{\displaystyle g=\frac{GM}{r^2}}}$$$g$ heißt Gravitationsfeldstärke (Ortsfaktor, Einheit m/s² bzw. gleichwertig N/kg): $M$ erzeugt das Feld, $r$ ist der Abstand zu seinem Massenmittelpunkt.

„Wiegen der Erde": nach Cavendishs Messung von $G$ ★

Newton kannte $G$ nicht. 1798 maß Cavendish $G$ erstmals mit der Drehwaage (Aufbau siehe Thema 4 §4.2) — $g$ und $R_E$ waren längst bekannt, es fehlte nur $G$:

3. Schritt 2 nach $M$ auflösen (beide Seiten mal $\frac{r^2}{G}$; mit $r=R_E$, also an der Erdoberfläche):

   $$M_E=\frac{g{R}_E^2}{G}$$

4. Zahlenprobe (alle Werte aus dem Formelnheft S. 1: $g=\mathrm{9,807}$ m/s², $R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m, $G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²):

   • $R_E^2=(\mathrm{6,371}\cdot {10}^6{)}^2=\mathrm{4,059}\cdot {10}^{13}{\text{m}}^2$
   • $g{R}_E^2=\mathrm{9,807}\cdot \mathrm{4,059}\cdot {10}^{13}=\mathrm{3,981}\cdot {10}^{14}$
   • $M_E={\displaystyle \frac{\mathrm{3,981}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}}}\approx 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{kg}$ ✓

   Probe: stimmt mit $M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg aus dem Formelnheft S. 1 überein (Abweichung <0,2 %, durch Rundung und den Rotationsanteil in $g$). Darum sagt man, Cavendish habe „die Erde gewogen" — sein eigentliches Ziel war die Dichte der Erde, $G$ fiel dabei mit ab.

Mond: $g\approx 1,62$ m/s² — über das Verhältnis

5. Dieselbe Formel für den Mond ansetzen und durch die Erd-Version teilen (Vorteil der Verhältnismethode: $G$ kürzt sich, es bleiben Massen- und Radienverhältnis; Monddaten $M_M=7,35\cdot {10}^{22}$ kg, $R_M=1,74\cdot {10}^6$ m aus dem Skript, nicht im Formelnheft):$$\frac{g_M}{g_E}=\frac{G{M}_M/R_M^2}{G{M}_E/R_E^2}=\frac{M_M}{M_E}\cdot {\left(\frac{R_E}{R_M}\right)}^2$$
6. Zahlen einsetzen:
   • ${\displaystyle \frac{M_M}{M_E}}={\displaystyle \frac{7,35\cdot {10}^{22}}{\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}}=\mathrm{0,012}3$
   • ${\left({\displaystyle \frac{R_E}{R_M}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{6,371}}{1,74}}\right)}^2=3,{66}^2=13,4$
   • ${\displaystyle \frac{g_M}{g_E}}=\mathrm{0,012}3\cdot 13,4=\mathrm{0,165}\approx {\displaystyle \frac{1}{6}}$
   $$g_M=\mathrm{0,165}\cdot \mathrm{9,807}\approx 1,62\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx \frac{1}{6}{g}_E✓$$(Direkt eingesetzt: $g_M=G{M}_M/R_M^2=\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot 7,35\cdot {10}^{22}}{(1,74\cdot {10}^6{)}^2}=1,62$ m/s² — beide Wege stimmen überein.) Auf dem Mond wiegt man nur ein Sechstel — die Masse bleibt gleich.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$g$	Gravitationsfeldstärke (Ortsfaktor); an der Erdoberfläche $g=\mathrm{9,807}$ m/s² (Formelnheft S. 1)	m/s² = N/kg
$m$	Probemasse (wird gekürzt)	kg
$M$	felderzeugende (Zentral-)Masse	kg
$r$	Abstand zum Massenmittelpunkt von $M$	m
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$ (Formelnheft S. 1)	N·m²/kg²
$M_E$	Erdmasse $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg (Formelnheft S. 1)	kg
$R_E$	Erdradius $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m (Formelnheft S. 1)	m
$M_M$	Mondmasse $=7,35\cdot {10}^{22}$ kg (Skriptwert, nicht im Formelnheft)	kg
$R_M$	Mondradius $=1,74\cdot {10}^6$ m (Skriptwert, nicht im Formelnheft)	m

Verknüpfungen

• H07 — dasselbe Schema „zwei Kräfte gleichsetzen, $m$ kürzen"; nach der Messung von $G$ führen beide Wege zum „Wiegen" von Himmelskörpern: H08 über das Oberflächen-$g$, H07 über die Bahn eines Umlaufenden.
• H09 — die Kombination $GM$ taucht im Schwarzschildradius wieder auf.
• Thema 11 §11.2 — Skript-Fassung (inkl. Gezeiten-Nachfrage); §11.3 „Wiegen der Erde".
• Thema 4 §4.2 — Drehwaage und Auswertung Schritt für Schritt.